Analysis Beispiele

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$y'' + 25 y = 0$

Schritt 2

Ermittle $y'$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Da $A$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $A \sin (5 x)$ nach $x$ gleich $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.2.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Da $B$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $B \cos (5 x)$ nach $x$ gleich $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.3.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.3.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Schritt 2.3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Schritt 3

Ermittle $y''$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $5 A$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 A \cos (5 x)$ nach $x$ gleich $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $- 5 B$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 B \sin (5 x)$ nach $x$ gleich $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.4.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Schritt 3.4.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Schritt 4

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $- 25 A \sin (5 x)$ und $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 25 B \cos (5 x)$ und $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Schritt 5.2.3

Addiere $- 25 B \cos (5 x)$ und $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Schritt 6

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ ist ein Lösung von $y'' + 25 y = 0$