Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ und $y (e) = - 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $e$ für $x$ und $- 2$ für $y$ in $y = \ln (| x |) + C$ ersetzt wird.

$- 2 = \ln (| e |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (| e |) + C = - 2$ um.

$\ln (| e |) + C = - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (e) + C = - 2$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$1 + C = - 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = - 2 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$C = - 3$

Schritt 5

Setze $- 3$ für $C$ in $y = \ln (| x |) + C$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $- 3$ .

$y = \ln (| x |) - 3$