Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$ , $y (0) = - 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec (x)}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{2} + \sec (x) + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

Schritt 5

Da $y$ negativ in der Anfangsbedingung $(0, - 3)$ ist, betrachte nur $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $- 3$ für $y$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$ um.

$- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$ als ${(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(- {(0 + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

${(- {(0 + 1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

${(- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.4

Mutltipliziere ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache.

$1 + K = {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$1 + K = 9$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 9 - 1$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$K = 8$

Schritt 7

Setze $8$ für $K$ in $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $8$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 8}$