Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x y = y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} + x y$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x (y)}{x \cdot x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x y}{x \cdot x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{y}{x})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{2} + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{2} + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + V - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V^{2} + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{2}}{V^{2} x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Bringe $V^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 2}$ nach $V$ gleich $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe $- V^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{V} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$V, 1, 1$

Schritt 6.3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$V$

Schritt 6.3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ mit $V$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{V} = \ln (| x |) + C$ mit $V$ .

$- \frac{1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{V}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{V} V = \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \ln (| x |) V + C V$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $\ln (| x |) V + C V$ um.

$- 1 = V \ln (| x |) + C V$

Schritt 6.3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $V \ln (| x |) + C V = - 1$ um.

$V \ln (| x |) + C V = - 1$

Schritt 6.3.3.2

Faktorisiere $V$ aus $V \ln (| x |) + C V$ heraus.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $V$ aus $C V$ heraus.

$V \ln (| x |) + V C = - 1$

Schritt 6.3.3.2.2

Faktorisiere $V$ aus $V \ln (| x |) + V C$ heraus.

$V (\ln (| x |) + C) = - 1$

Schritt 6.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ durch $\ln (| x |) + C$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $V (\ln (| x |) + C) = - 1$ durch $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| x |) + C$ .

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Schritt 6.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.3.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 6.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ .

$y = - \frac{x}{\ln (| x |) + C}$