Analysis Beispiele

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 2$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

Schritt 2.4

Multipliziere $e^{2 t}$ mit $e^{t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

Schritt 2.4.3

Addiere $t$ und $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren in $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ um.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

Schritt 6.2

Sei $u = 3 t$ . Dann ist $d u = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 6.2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

Schritt 6.7

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ durch $e^{2 t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ durch $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3 t}$ und $e^{2 t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $e^{2 t}$ aus $e^{3 t}$ heraus.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 7.3.1.2.4

Dividiere $e^{t}$ durch $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $3$ für $y$ in $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ ersetzt wird.

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ um.

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Schritt 9.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

Schritt 9.2.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$1 + C = 3$

Schritt 9.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 3 - 1$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$C = 2$

Schritt 10

Setze $2$ für $C$ in $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $2$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$