Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 \sin (3 x + 4)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 2 \sin (3 x + 4) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 \sin (3 x + 4) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (3 x + 4) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 3 x + 4$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 3 x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 2 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (u)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cos (3 x + 4)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{2}{3} \cos (3 x + 4) + K$