Analysis Beispiele

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 3.3.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

Schritt 4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\arctan (x) + C}$ um.

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

Schritt 4.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

Schritt 5

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.1

Schreibe $e^{\arctan (x) + C}$ als $e^{\arctan (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

Schritt 5.2

Stelle $e^{\arctan (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\arctan (x)}$