Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = \sec (x)$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \tan (x)$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Schritt 1.2

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sec (x)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sec (x)$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sec (x)$

Schritt 2.2

Multipliziere $\sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{1} (x) \sec (x)$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)$

Schritt 2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = {\sec (x)}^{1 + 1}$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x)$ um.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) y = \tan (x) + C$ durch $\sec (x)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) y = \tan (x) + C$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (x)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.6

Separiere Brüche.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Schritt 7.3.1.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 7.3.1.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Schritt 7.3.1.9

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Schritt 7.3.1.10

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$