Analysis Beispiele

$(2 x y) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} + 1) d y = - 2 x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) y$ heraus.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $(x^{2} + 1) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 1 |) = C$

Schritt 5.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y (x^{2} + 1) |) = C$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 |) = C$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y |) = C$

Schritt 5.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x^{2} + y |)} = e^{C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (| y x^{2} + y |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y |$

Schritt 5.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $| y x^{2} + y | = e^{C}$ um.

$| y x^{2} + y | = e^{C}$

Schritt 5.8.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y$ heraus.

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Schritt 5.8.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3.4

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2}) + y \cdot 1$ heraus.

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.8.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{x^{2} + 1}$