Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 1 y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

Schritt 1.2.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- y + 2}$ .

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y + 2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = - y + 2$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = - y + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- y + 2$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\ln (| - y + 2 |)$ durch $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

Schritt 3.1.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ um.

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Um $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.2

Um $\frac{- 2}{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{- 1}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Schritt 3.4.4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Schreibe $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ als $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ um.

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Schritt 3.4.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

Schritt 3.4.4.3.6

Dividiere $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ durch $1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- x^{2} + x + C}$ als $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ um.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- x^{2} + x}$ und $e^{C}$ um.

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$