Analysis Beispiele

$\frac{d y}{4 d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d x}$ aus.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{3 y}{x}$ heraus.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $\frac{3}{x}$ um.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.7

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{3 y}{x}$ und $4$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y \cdot 4}{x} = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = x^{2} \cdot 4$

Schritt 1.10

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Schritt 1.11

Faktorisiere $y$ aus $\frac{12 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{12}{x} = 4 \cdot x^{2}$

Schritt 1.12

Stelle $y$ und $\frac{12}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{12}{x} y = 4 \cdot x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{12}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{12}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{12}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$e^{12 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{12 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{12 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{12 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{12})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{12}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{12}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{12}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} (\frac{12}{x} y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{12}{x}$ und $y$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{12}$ heraus.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{11} (12 y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{12} x^{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{12}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 (x^{2} x^{12})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{2 + 12}$

Schritt 3.4.3

Addiere $2$ und $12$ .

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{14}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{12} y] = 4 x^{14}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{12} y] d x = \int 4 x^{14} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{12} y = \int 4 x^{14} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x^{12} y = 4 \int x^{14} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{14}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$ als $4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$ um.

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{15}$ .

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ durch $x^{12}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ durch $x^{12}$ .

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{12}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{15}$ und $x^{12}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{12}$ aus $\frac{4}{15} x^{15}$ heraus.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{4}{15} x^{3}$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{15} x^{3} + \frac{C}{x^{12}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{4}{15}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{C}{x^{12}}$