Analysis Beispiele

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ .

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ in den Zähler.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ in den Zähler.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $\cos^{2} (y)$ aus $- \cos^{2} (y)$ heraus.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.2

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (y)$ als $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ neu zu schreiben.

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.6

Sei $u_{1} = 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Es sei $u_{1} = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.6.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.2.6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.2.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $\cos (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.9

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.10

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.11

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.12

Vereinfache.

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Schritt 4.2.12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 y)$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.12.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.12.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Schritt 4.2.12.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (2 y)}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.12.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.2.13

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = 6 x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = 6 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 x + 1$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$