Analysis Beispiele

$(x y^{2} + x - 2 y + 3) d x + (x^{2} y - 2 x - 2 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y^{2} + x - 2 y + 3$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x - 2 y + 3]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + x - 2 y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 1.6

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + 0$

Schritt 1.7

Vereine die Terme

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Schritt 1.7.1

Addiere $2 x y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2 + 0$

Schritt 1.7.2

Addiere $2 x y - 2$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y - 2 x - 2 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y - 2 x - 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.5

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + 0$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 y x - 2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x y - 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x y - 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y - 2 x - 2 y d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Schritt 5.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Schritt 5.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Schritt 5.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 \int y d y$

Schritt 5.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)$

Schritt 5.9

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Schritt 5.10

Vereinfache.

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Schritt 5.10.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Schritt 5.10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Schritt 5.10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 5.10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 5.10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Schritt 5.10.2.2.4

Dividiere $- y^{2}$ durch $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Schritt 5.11

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $\frac{2 y^{2}}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.3.7.2

Dividiere $y^{2} x$ durch $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.5

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.6

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Addiere $y^{2} x - 2 y$ und $0$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 8.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x$

Schritt 9.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{2}$ und $- y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $y^{2} x$ von $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $x - 2 y + 3$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 2 y$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 3$

Schritt 9.1.3.5

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 3$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x + 3$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 3 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 3 d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 3 d x$

Schritt 10.5

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C$

Schritt 10.6

Vereinfache.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C$