Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = x y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = x y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.1.5.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.6

Vereinfache $- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.2.1.7

Kombiniere $v$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.3.3

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{0}$

Schritt 6.1.1.3.4

Vereinfache $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x$

Schritt 6.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 6.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 6.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 6.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{v}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x)$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x$

Schritt 6.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x$

Schritt 6.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 1$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 1$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 1 d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} v = \int - 1 d x$

Schritt 6.7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x} v = - x + C$

Schritt 6.8

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{v}{x} = - x + C$

Schritt 6.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x + C) x$

Schritt 6.8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x} x = (- x + C) x$

Schritt 6.8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (- x + C) x$

Schritt 6.8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.2.1

Vereinfache $(- x + C) x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = - x \cdot x + C x$

Schritt 6.8.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$v = - (x \cdot x) + C x$

Schritt 6.8.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$v = - x^{2} + C x$

Schritt 6.8.3.2.1.3

Stelle $- x^{2}$ und $C x$ um.

$v = C x - x^{2}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = C x - x^{2}$