Analysis Beispiele

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Addiere $y (8 x - 9 y) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 9 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Da $8 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 9 y$ nach $y$ gleich $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Schritt 2.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $8 x - 9 y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Schritt 2.3.8.2

Subtrahiere $9 y$ von $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x (x - 3 y)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Da $- 3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Schritt 3.4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $x - 3 y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Schritt 3.4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $8 x - 18 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 x - 6 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $8 x - 18 y$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $4 x - 6 y$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $2 x (x - 3 y)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ und $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 18 y$ heraus.

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 8 x) - (18 y)$ heraus.

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ heraus.

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.5

Schreibe $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ als $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ um.

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.6

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x - 3 y)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Schritt 5.3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Schritt 5.3.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 4 x$ und $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $3 y$ von $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 6 y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (3 y)$ heraus.

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 3 y$ und $x - 3 y$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 3 y)$ heraus.

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.4.4

Schreibe $- (x - 3 y)$ als $- 1 (x - 3 y)$ um.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Schritt 5.3.4.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Schritt 6.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Schritt 6.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{2}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $y (8 x - 9 y)$ mit $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1

Bewege $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $2 x (x - 3 y)$ mit $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Schritt 7.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Schritt 7.10

Wende das Distributivgesetz an.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Schritt 7.11

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.11.1

Bewege $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 7.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Schritt 7.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Schritt 7.11.3

Addiere $1$ und $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Schritt 7.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Schritt 7.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Schritt 9.2

Da $8 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Schritt 9.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Schritt 9.4

Da $- 9 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 9 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Schritt 9.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 9.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7

Vereinfache.

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Schritt 9.7.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 9.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.7.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 9.7.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 9.7.4

Kombiniere $- 9$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Schritt 9.7.5

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Schritt 9.7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $3$ .

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Schritt 9.7.6.1

Faktorisiere $3$ aus $y^{2} (- 9 x^{3})$ heraus.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Schritt 9.7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.7.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Schritt 9.7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 9.7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Schritt 9.7.6.2.4

Dividiere $y^{2} (- 3 x^{3})$ durch $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $2 x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y x^{4}$ nach $y$ gleich $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

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Schritt 12.4.1

Da $- 3 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} (- 3 x^{3})$ nach $y$ gleich $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 12.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $2 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Schritt 13.1.2

Addiere $6 x^{3} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Schritt 13.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

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Schritt 13.1.3.1

Subtrahiere $2 x^{4}$ von $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Schritt 13.1.3.2

Addiere $- 6 x^{3} y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Schritt 13.1.3.3

Addiere $- 6 x^{3} y$ und $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 14.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 14.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Schritt 16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$