Analysis Beispiele

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y^{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $e^{- y^{2}}$ aus $x e^{- y^{2}}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ und $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y^{2}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Multipliziere $- y^{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{y^{2}})$ durch Herausziehen von $y^{2}$ aus dem Logarithmus.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$