Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x \sin (x)$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x \sin (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x \sin (x))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x \sin (x))$

Schritt 3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x \sin (x)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Schritt 7.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Schritt 7.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Schritt 7.6

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Schritt 7.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.1

Schreibe $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ als $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ um.

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Schritt 7.7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Schritt 7.7.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} \cos (x)$ heraus.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x^{1}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- x \cos (x)}{1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.5

Dividiere $- x \cos (x)$ durch $1$ .

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x}$

Schritt 8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.3

Um $- x \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = - x \cos (x) \cdot \frac{x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.4

Kombiniere $- x \cos (x)$ und $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{- x \cos (x) x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x \cos (x) x + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.6.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- (x \cdot x) \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \cos (x)$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x \sin (x)$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x))$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Schritt 8.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x}$

Schritt 8.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x}$

Schritt 8.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x}$

Schritt 8.3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ heraus.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

Schritt 8.3.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.14.1

Schreibe $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ als $- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ um.

$y = \frac{- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

Schritt 8.3.14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x}$