Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 6 e^{x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (6 e^{x})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (6 e^{x})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{2 x} e^{x}$

Schritt 2.4

Multipliziere $e^{2 x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 (e^{x} e^{2 x})$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{x + 2 x}$

Schritt 2.4.3

Addiere $x$ und $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{3 x}$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{3 x}$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 6 e^{3 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 6 e^{3 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 6 e^{3 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int 6 e^{3 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 6 \int e^{3 x} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $6$ .

$e^{2 x} y = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{2 x} y = 2 \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$e^{2 x} y = 2 e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3 x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 e^{3 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 7.3.1.2.4

Dividiere $2 e^{x}$ durch $1$ .

$y = 2 e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$