Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (1 - x^{3})}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1 - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{1^{3} - x^{3}} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.3.2

Kombinieren.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2}) y}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 - x) (1 + x + x^{2}) y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2} \cdot 1}{y ((1 - x) (1 + x + x^{2}))}$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} \cdot 1}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Dann ist $d u = - 3 x^{2} d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 + x + x^{2})]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 - x$ und $g (x) = 1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x + x^{2}] + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 2.3.2.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3.2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.3.2.1.3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2.1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.2.1.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) + (1 + x + x^{2}) \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.1.3.11.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + x + x^{2}$ .

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot (1 + x + x^{2})$

Schritt 2.3.2.1.3.11.3

Schreibe $- 1 (1 + x + x^{2})$ als $- (1 + x + x^{2})$ um.

$(1 - x) (1 + 2 x) - (1 + x + x^{2})$

Schritt 2.3.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - x) (1 + 2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - x) \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + (1 - x) (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1.4.5.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 - x \cdot 1 + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - x + 1 (2 x) - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 - x + 2 x - x (2 x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x \cdot x - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - x + 2 x - 2 x^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - x + 2 x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.9

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + x - 2 x^{2} - 1 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.11

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x - 2 x^{2} + 0 - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.12

Addiere $x - 2 x^{2}$ und $0$ .

$x - 2 x^{2} - x - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.13

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- 2 x^{2} + 0 - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.14

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$- 2 x^{2} - x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.4.5.15

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 2.3.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{3 u} d u)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \ln (| (1 - x) (1 + x + x^{2}) |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Multipliziere $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 1 x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + 1 x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x \cdot x - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.5.1

Bewege $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - (x \cdot x) - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x \cdot x^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - (x^{2} x^{1}) |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{2 + 1} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x + x^{2} - x - x^{2} - x^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Addiere $1 + x^{2}$ und $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + x^{2} - x^{2} - x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 + 0 - x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \ln (| 1 - x^{3} |)) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 \ln (| 1 - x^{3} |) + 2 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $- 2 \ln (| 1 - x^{3} |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{2} = - \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| 1 - x^{3} |}^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.5

Entferne den Absolutwert in ${| 1 - x^{3} |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({(1 - x^{3})}^{2}) + C}$