Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y + 2}$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} (\frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y + 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $e^{y + 2}$ aus ${(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}$ heraus.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y + 2} d y = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y + 2} d y = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 2$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $10$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{10}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Schreibe $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ als $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ um.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{2 x - 1} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y + 2} = - \frac{5}{2 x - 1} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y + 2})$ durch Herausziehen von $y + 2$ aus dem Logarithmus.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y + 2$ mit $1$ .

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $\ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1}$ in zwei Brüche.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1}$ in zwei Brüche.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Schritt 3.3.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

Schritt 3.3.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$