Analysis Beispiele

$(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x + (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (0 + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.3.6

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.10

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (x^{2} \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 1.11

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2} (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.12.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 \cdot x^{2} y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.12.2

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + \frac{y x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.16

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y x^{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.17

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.17.1

Bewege $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y x^{2}$

Schritt 1.17.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 1.17.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{2}$

Schritt 1.17.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{2}$

Schritt 1.17.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{2}$

Schritt 1.17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{2}$

Schritt 1.17.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Schritt 1.18

Addiere $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ und $y^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

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Schritt 1.18.1

Stelle $y^{\frac{1}{2}}$ und $x^{2}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.18.2

Addiere $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ und $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.19

Vereinfache.

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Schritt 1.19.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$

Schritt 1.19.2

Stelle die Faktoren in $3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ und $g (x) = x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.4

Da $y^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 \cdot y^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x + 0)$

Schritt 2.3.8

Addiere $2 y^{\frac{1}{2}} x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x^{1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1 + 1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{2} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + 2 \cdot x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ und $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y \int 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = y (\int 2 d x + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y (2 x + C + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

Schritt 5.4

Da $2 y^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} \int x^{2} d x)$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

Schritt 5.7

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

$y \frac{d}{d y} [2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}] + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.5

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.6

Da $\frac{2 x^{3}}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ nach $y$ gleich $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.15

Mutltipliziere $\frac{2 x^{3}}{3}$ mit $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.16

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{6}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.17

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.18

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$y (0 + \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.20

Addiere $0$ und $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.21

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.22

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.23

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.23.1

Bewege $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.23.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 8.3.23.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.23.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.23.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.23.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.23.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.24

Mutltipliziere $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.26

Addiere $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ und $2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ .

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.27

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.3.28

Dividiere $y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ durch $1$ .

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d g}{d y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x$ um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ .

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 2) x = 0$

Schritt 9.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - 2) x = 0$

Schritt 9.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{2} y^{\frac{1}{2}} x - 2 x = 0$

Schritt 9.1.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x \cdot x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Schritt 9.1.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 9.1.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{1} x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Schritt 9.1.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{1 + 2} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Schritt 9.1.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ von $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x + 0 - 2 x = 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $\frac{d g}{d y} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x - 2 x = 0$

Schritt 9.1.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Schritt 9.1.2.4

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3}) + C$

Schritt 12.1.1.2

Kombiniere $\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

Schritt 12.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y (2 x) + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = 2 y x + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.1.4

Multipliziere $y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

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Schritt 12.1.4.1

Kombiniere $y$ und $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{3})}{3} + C$

Schritt 12.1.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}}) x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{1 + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2 + 1}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.1.4.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$ um.

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{3} + C$