Analysis Beispiele

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ durch $\ln (| y |)$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ durch $\ln (| y |)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| y |)$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| y |)$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung um.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (| y |)$ und $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Schritt 3.2.5

Stelle die Terme um.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Schritt 3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$