Analysis Beispiele

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(1 + \ln (y)) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ um.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \ln (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $1 + \ln (y)$ aus $x (1 + \ln (y))$ heraus.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = \ln (y)$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , folglich $y d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = \ln (y)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Schritt 4.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 4.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 4.2.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 4.2.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

Schritt 5.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

Schritt 5.5.2

Stelle die Faktoren in $\ln (| x + \ln (y) x |)$ um.

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

Schritt 5.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

Schritt 5.8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ um.

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

Schritt 5.8.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

Schritt 5.8.2.3

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ durch $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 5.8.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 5.8.2.3.2.1.2

Dividiere $\ln (y)$ durch $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 5.8.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 5.8.2.3.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Schritt 5.8.2.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Schritt 5.8.2.5

Schreibe $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

Schritt 5.8.2.6

Schreibe die Gleichung als $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ um.

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$