Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \cos (x)$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \cos (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cos (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cos (x)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cos (x)$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cos (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \cos (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \cos (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x \cos (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x y = x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Schritt 7.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x y = x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$

Schritt 7.3

Schreibe $x \sin (x) - (- \cos (x) + C)$ als $x \sin (x) + \cos (x) + C$ um.

$x y = x \sin (x) + \cos (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x y = x \sin (x) + \cos (x) + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = x \sin (x) + \cos (x) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \sin (x)}{x} + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{\cos (x)}{x} + \frac{C}{x}$