Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 6 x y = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 6 x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 6 x d x}$

Schritt 1.2

Integriere $6 x$ .

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Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{6 \int x d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{6}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{3}{1} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{3 x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x^{2}}$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{3 x^{2}} (6 x y) = e^{3 x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = e^{3 x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{3 x^{2}}$ mit $0$ .

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{3 x^{2}} (x y) = 0$ um.

$e^{3 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 6 x y e^{3 x^{2}} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x^{2}} y = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$e^{3 x^{2}} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{3 x^{2}} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x^{2}} y = C$ durch $e^{3 x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x^{2}} y = C$ durch $e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{e^{3 x^{2}} y}{e^{3 x^{2}}} = \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x^{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x^{2}} y}{e^{3 x^{2}}} = \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{3 x^{2}}}$