Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{5 e^{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{2 x}{5 e^{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $5 e^{y}$ heraus.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{2 x}{e^{y} \cdot 5}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{2 x}{e^{y} \cdot 5}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{5}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 x}{5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{5} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{10} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{10} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{5} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = \frac{1}{5} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{2}}{5} + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{5} + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{5} + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{2}}{5} + K)$