Analysis Beispiele

$(2 x y + 3 y^{2}) d x = (2 x y + x^{2}) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(2 x y + x^{2}) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + 3 y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (2 x y + x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

Schritt 3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

Schritt 3.8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2 x + 6 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x - 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x + 6 y$ .

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 x - 2 y$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $- (2 x y + x^{2})$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $- (2 x y + x^{2})$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.5

Addiere $6 y$ und $2 y$ .

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.6

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 8 y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.2.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (2 y)$ heraus.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x y + x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 y) + x \cdot x$ heraus.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2 y$ und $2 y + x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Schritt 5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{- x}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| x |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2 x y + 3 y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2 x y + 3 y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere $y$ aus $2 x y + 3 y^{2}$ heraus.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 x) + y (3 y)$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- (2 x y + x^{2})$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $- 2 x y - x^{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.8

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y - x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.8.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.8.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 y) + x (- x)$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 7.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y) - (x)$ heraus.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.13

Schreibe $- (2 y + x)$ als $- 1 (2 y + x)$ um.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Schritt 9.2

Da $\frac{1}{x^{3}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

Schritt 9.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

Schritt 9.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

Schritt 9.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

Schritt 9.7

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

Schritt 9.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

Schritt 9.9

Vereinfache.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ und $g (x) = y^{2} + x y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.5

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.7

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 12.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.11

Addiere $0$ und $y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $\frac{1}{x^{3}}$ und $y$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.13

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.15

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.15.1

Bewege $x^{2}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.15.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.16

Um $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.18

Multipliziere $x^{- 4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.18.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.3.18.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.7

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.8

Kombiniere $y$ und $\frac{x \cdot 3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.5.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.11.2

Dividiere $3 y$ durch $1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.13

Subtrahiere $3 y$ von $y$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.14

Um $\frac{d g}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.3

Multipliziere $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ .

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Schritt 12.5.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{3 y^{2}}{x}$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.4

Um $x^{3} \frac{d g}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.6

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.5.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 12.5.5.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.7

Um $2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.7

Multipliziere $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 12.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.7.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.7.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 12.5.7.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 12.5.7.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Schritt 13.1.2

Vereinfache $y (2 x + 3 y)$ .

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Schritt 13.1.2.1

Forme um.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

Schritt 13.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Schritt 13.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

Schritt 13.1.2.4

Stelle um.

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Schritt 13.1.2.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

Schritt 13.1.2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

Schritt 13.1.2.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.2.5.1

Bewege $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

Schritt 13.1.2.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

Schritt 13.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.3.1

Subtrahiere $2 y x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

Schritt 13.1.3.2

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

Schritt 13.1.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ .

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Schritt 13.1.3.3.1

Subtrahiere $2 y x$ von $2 y x$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

Schritt 13.1.3.3.2

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

Schritt 13.1.3.3.3

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $3 y^{2}$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 13.1.4

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ durch $x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 13.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ durch $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Schritt 13.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 13.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Schritt 13.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

Schritt 13.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.1.4.3.1

Dividiere $0$ durch $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 14.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 14.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Schritt 16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Schritt 16.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 16.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{3}}$ in den Zähler.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

Schritt 16.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Schritt 16.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

Schritt 16.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Schritt 16.3.5

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

Schritt 16.4

Kombiniere $\frac{- 1}{x^{2}}$ und $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

Schritt 16.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$