Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 x d x}$

Schritt 1.2

Integriere $2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int x d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{x^{2}}$ mit $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ um.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = C$ durch $e^{x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = C$ durch $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Schritt 9

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ um.

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Schritt 9.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Schritt 9.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{0^{2}}$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Schritt 9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Vereinfache $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Schritt 9.3.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.2.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$C = 1$

Schritt 10

Setze $1$ für $C$ in $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$