Analysis Beispiele

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

Schritt 1

Addiere $3 y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x d y = 3 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ um.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1

Schreibe $e^{C} {| x |}^{3}$ als ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.1

Faktorisiere ${| x |}^{2}$ aus.

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Stelle $e^{C}$ und ${| x |}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

Schritt 5.5.4.2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

Schritt 5.5.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Schritt 5.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Schritt 5.5.4.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Schritt 5.5.4.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = | x | \sqrt{C | x |}$

$y = - | x | \sqrt{C | x |}$