Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{4}$ .

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{4} d y = 3 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{4} d y = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{5} y^{5} = x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $5 (\frac{1}{5} y^{5})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y^{5}$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} = 5 (x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{5} = 5 x^{3} + 5 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{5 x^{3} + 5 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{3} + 5 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3}) + 5 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{3}) + 5 K$ heraus.

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3} + K)}$