Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y + y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Schritt 1.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x + x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x}$ mit $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $1 + y$ aus $x (1 + y)$ heraus.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $(x + 1) y$ heraus.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$