Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 7 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 7 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $6$ für $x$ und $19$ für $y$ in $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ ersetzt wird.

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Schritt 4.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Schritt 4.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Schritt 4.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $C$ .

$C = 19$

Schritt 5

Setze $19$ für $C$ in $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $19$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Schritt 5.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

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Schritt 5.2.1

Stelle $\ln (| 7 - x |)$ und $\frac{1}{3}$ um.

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$