Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = y^{3}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{3}} y^{3}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int d t$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int d t$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ als $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y^{2}, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y^{2}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$ mit $2 y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 y^{2}} = t + K$ mit $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = t (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 2 t y^{2} + K (2 y^{2})$

Schritt 3.2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 = 2 t y^{2} + 2 K y^{2}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 t y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ um.

$2 t y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 t y^{2} + 2 K y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 t y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (t) + 2 K y^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 K y^{2}$ heraus.

$2 y^{2} (t) + 2 y^{2} K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $2 y^{2}$ aus $2 y^{2} (t) + 2 y^{2} K$ heraus.

$2 y^{2} (t + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (t + K) = - 1$ durch $2 (t + K)$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{2} (t + K) = - 1$ durch $2 (t + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (t + K)}{2 (t + K)} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} (t + K)}{2 (t + K)} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (t + K)}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (t + K)}$

Schritt 3.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (t + K)}}$