Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 2 x^{\frac{1}{7}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x^{\frac{1}{7}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x^{\frac{1}{7}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x^{\frac{1}{7}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{7}}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}} + C_{2})$ als $2 (\frac{7}{8}) x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 2 (\frac{7}{8}) x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{8} x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$y + C_{1} = \frac{14}{8} x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $8$ .

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 (7)}{8} x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 4} x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 4} x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}} + K$