Analysis Beispiele

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{x}{y}$ um.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d x}{d y}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d x}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

Schritt 1.1.1.3

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ durch $- y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ durch $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d x}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ als ${(\frac{x}{y})}^{2}$ um.

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{x}{y}$ . Ersetze $V$ für $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

Schritt 3

Löse $V = \frac{x}{y}$ nach $x$ auf.

$x = V y$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $x = V y$ nach $y$ zu finden.

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d x}{d y}$ durch $y \frac{d V}{d y} + V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d y}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V^{2} + V + 1 - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Schritt 6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2} + 1$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1

Stelle $V^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ nach $V$ ist $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

Schritt 6.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $V$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\tan (\ln (| y |) + C) y$ um.

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$