Analysis Beispiele

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(1 + x^{2}) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.8

Stelle $1$ und $x^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.9

Entferne die Klammern.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Schritt 1.10

Bewege $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ als $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2

Vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.4.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ durch $1 + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$