Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{9 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{9 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $9 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{9}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x}{9} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x}{9} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{9} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{18} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{18} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{18}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{18} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{18} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (9)} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 9} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $2 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K \cdot \frac{9}{9}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $2 K$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 K \cdot 9}{9}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K \cdot 9}{9}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 18 K}{9}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\frac{x^{2} + 18 K}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)$ um.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} + 18 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{9}}$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)}$

Schritt 3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x^{2} + 18 K}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{x^{2} + 18 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$