Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ um.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Schritt 6.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Schritt 6.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Schritt 6.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Schritt 6.8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Schritt 6.9

Schreibe $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ als $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ um.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 2 x e^{x}$ heraus.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ heraus.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.2.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 7.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.3.2

Dividiere $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ durch $1$ .

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7.3.1.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$