Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Schritt 6.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Schritt 6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Schritt 6.4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Schritt 6.5

Schreibe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ als $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ um.

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$