Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 x d x}$

Schritt 1.2

Integriere $2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int x d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ um.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

Schritt 6.5.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

Schritt 6.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 6.8

Vereinfache.

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 6.9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Schritt 6.10

Vereinfache.

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Schritt 6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

Schritt 6.10.2

Multipliziere $- - e^{x^{2}}$ .

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Schritt 6.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

Schritt 6.10.2.2

Mutltipliziere $e^{x^{2}}$ mit $1$ .

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ durch $e^{x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ durch $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$