Analysis Beispiele

$\frac{d E}{d t} = 30 - 10 t$ , $E (2) = 72$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d E = (30 - 10 t) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d E = \int 30 - 10 t d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$E + C_{1} = \int 30 - 10 t d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$E + C_{1} = \int 30 d t + \int - 10 t d t$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} + \int - 10 t d t$

Schritt 2.3.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 10$ aus dem Integral.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 \int t d t$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$E + C_{1} = 30 t - 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 10}{2} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 5}{1} t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$E + C_{1} = 30 t - 5 t^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$E + C_{1} = - 5 t^{2} + 30 t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$E = - 5 t^{2} + 30 t + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $t$ und $72$ für $E$ in $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ ersetzt wird.

$72 = - 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$ um.

$- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 20 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $2$ .

$- 20 + 60 + K = 72$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 20$ und $60$ .

$40 + K = 72$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 72 - 40$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $40$ von $72$ .

$K = 32$

Schritt 5

Setze $32$ für $K$ in $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $32$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + 32$