Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x e^{- y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{- y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{- y}$ .

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{- y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- y')$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren von $e^{- y} (- y')$ um.

$\frac{d v}{d x} = - e^{- y} y'$

Schritt 3

Ersetze $e^{- y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v y'$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$

Schritt 5

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ mit $- \frac{v}{x}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ mit $- \frac{v}{x}$ .

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v}$ in den Zähler.

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{v}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \frac{d v}{d x}$ heraus.

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.1.2.1.2.1

Faktorisiere $v$ aus $- v$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.5

Multipliziere $3 (- \frac{v}{x})$ .

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Schritt 5.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 3 \frac{v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.5.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{v}{x}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v \frac{- v}{x}$

Schritt 5.1.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

Schritt 5.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

Schritt 5.1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 v (- v)$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v \cdot v$

Schritt 5.1.3.3

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v)$

Schritt 5.1.3.4

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v^{1})$

Schritt 5.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{1 + 1}$

Schritt 5.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{3 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 4 v^{2}$

Schritt 5.3

Stelle $v$ und $- \frac{3}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$

Schritt 6

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $v^{2}$ ist.

$v = v^{- 1}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $v$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 8

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 9

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 9.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 9.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 9.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 10

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d v}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $v$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 11

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 11.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 11.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 11.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.2.1.4.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.5

Vereinfache $- \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.6

Kombiniere $v$ und $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 3}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 \cdot v}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.8

Multipliziere $- \frac{3 v}{x} \cdot - 1$ .

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Schritt 11.1.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{3 v}{x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 11.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 \cdot - 1 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 11.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 11.1.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 11.1.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 11.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 2} v^{2}$

Schritt 11.1.1.3.4

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.3.4.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 11.1.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{2 - 2}$

Schritt 11.1.1.3.4.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{0}$

Schritt 11.1.1.3.5

Vereinfache $4 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $v$ aus $\frac{3 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{3}{x} = 4$

Schritt 11.1.3

Stelle $v$ und $\frac{3}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3}{x} v = 4$

Schritt 11.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3}{x}$ gilt.

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Schritt 11.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 11.2.2

Integriere $\frac{3}{x}$ .

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Schritt 11.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 11.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Schritt 11.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 \ln (x)}$

Schritt 11.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{3})}$

Schritt 11.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{3}$

Schritt 11.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

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Schritt 11.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} v) = x^{3} \cdot 4$

Schritt 11.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $v$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 11.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Schritt 11.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Schritt 11.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{2} (3 v) = x^{3} \cdot 4$

Schritt 11.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = x^{3} \cdot 4$

Schritt 11.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = 4 x^{3}$

Schritt 11.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{3} v] = 4 x^{3}$

Schritt 11.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} v] d x = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 11.6

Integriere die linke Seite.

$x^{3} v = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 11.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 11.7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x^{3} v = 4 \int x^{3} d x$

Schritt 11.7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 11.7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.7.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ um.

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 11.7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 11.7.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 11.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 11.7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} v = 1 x^{4} + C$

Schritt 11.7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{3} v = x^{4} + C$

Schritt 11.8

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} v = x^{4} + C$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 11.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} v = x^{4} + C$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 11.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 11.8.3.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 11.8.3.1.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$v = x + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 12

Ersetze $v$ durch $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 13

Ersetze alle $v$ durch $e^{- y}$ .

${(e^{- y})}^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 14

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 14.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Schritt 14.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 14.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Schritt 14.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Schritt 14.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$