Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 24$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Schritt 2.3.8

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Schritt 2.3.9.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $3$ für $x$ und $- 6$ für $y$ in $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ ersetzt wird.

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ um.

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Schritt 4.2

Vereinfache $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $27$ von $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $108$ von $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 54$ und $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere $30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 6 + 30$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 6$ und $30$ .

$K = 24$

Schritt 5

Setze $24$ für $K$ in $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $24$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$