Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = (2 + x^{2}) (3 + y^{2})$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} ((2 + x^{2}) (3 + y^{2}))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3 + y^{2}$ aus $(2 + x^{2}) (3 + y^{2})$ heraus.

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} ((3 + y^{2}) (2 + x^{2}))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} ((3 + y^{2}) (2 + x^{2}))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 + x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 + y^{2}} d y = (2 + x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 + y^{2}} d y = \int 2 + x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $3$ als ${\sqrt{3}}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + y^{2}} d y = \int 2 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ und $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C_{1}$ als $\frac{\arctan (\frac{y \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C_{1}$ um.

$\frac{\arctan (\frac{y \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = \int 2 d x + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = 2 x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$ mit $\frac{3}{\sqrt{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$ mit $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $y$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Faktorisiere $\sqrt{3}$ aus $\sqrt{3} \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})$ heraus.

$\frac{\sqrt{3} (\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}))}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3} \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kombinieren.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3}}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.3.1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.3.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.3.1.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.8.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.9

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 3.2.3.1.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.3.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.10.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3.1.10.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.3.1.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.3.1.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.3.1.10.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.3.1.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.3.1.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.3.1.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.3.1.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.3.1.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.3.1.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.3.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.3.1.11.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3}$

Schritt 3.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$\frac{\sqrt{3} y}{3} = \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} y}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} y}{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} y}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{3}$ aus $\sqrt{3} y$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} (y)) = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.5.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$y = \sqrt{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K)$