Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 \sqrt{y}$ , $y (1) = 16$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (6 \sqrt{y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 1.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $6$ und $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $\frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kombiniere $\frac{6 \sqrt{y}}{y}$ und $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

Schritt 1.2.5.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

Schritt 1.2.5.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

Schritt 1.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

Schritt 1.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

Schritt 1.2.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Schritt 1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Schritt 1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Schritt 1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{1}}{y}$

Schritt 1.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Schritt 1.2.7.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 6 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 6 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 6 d x$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 6 d x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 6 d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 6 d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 6 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 6 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 6 x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x}{1} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 3 x + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ als $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ um.

$y = (3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x (3 x + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = 9 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $3 x \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + x \frac{3 K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3 K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{x (3 K)}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 \cdot x K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + 3 \frac{K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.8

Kombiniere $\frac{3 K}{2}$ und $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.2

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.3

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Addiere $\frac{3 x K}{2}$ und $\frac{3 K x}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Bewege $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{3 K x}{2}$ und $\frac{3 K x}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache $9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Schritt 3.4.1

Bewege $9 x^{2}$ .

$y = 3 K x + \frac{K^{2}}{4} + 9 x^{2}$

Schritt 3.4.2

Stelle $3 K x$ und $\frac{K^{2}}{4}$ um.

$y = \frac{K^{2}}{4} + 3 K x + 9 x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = K + K x + 9 x^{2}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $16$ für $y$ in $y = K + K x + 9 x^{2}$ ersetzt wird.

$16 = K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$ um.

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Schritt 6.2

Vereinfache $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $K$ mit $1$ .

$K + K + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$K + K + 9 \cdot 1 = 16$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$K + K + 9 = 16$

Schritt 6.2.2

Addiere $K$ und $K$ .

$2 K + 9 = 16$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 K = 16 - 9$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $9$ von $16$ .

$2 K = 7$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Schritt 7

Setze $\frac{7}{2}$ für $K$ in $y = K + K x + 9 x^{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2} + K x + 9 x^{2}$