Analysis Beispiele

$x y d x + (1 + x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 + x^{2}) d y = - x y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x^{2}) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Schritt 3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 + x^{2} |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.3

Um $\ln (| y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

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Schritt 5.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.6.1.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Schritt 5.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ um.

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |) = C$

Schritt 5.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(y^{2} | 1 + x^{2} |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.6.1.4

Wende die Produktregel auf $y^{2} | 1 + x^{2} |$ an.

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.6.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.6.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.6.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (y^{1} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.6.1.6

Vereinfache.

$\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 5.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Schritt 5.8

Schreibe $\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.1

Schreibe die Gleichung als $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ um.

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Schritt 5.9.2

Teile jeden Ausdruck in $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ durch ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ durch ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.9.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$