Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 4 x^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 4 x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 x d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$ um.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x^{2}} y = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 7.2

Sei $u_{1} = - x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.2.1

Es sei $u_{1} = - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Differenziere $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 7.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x)$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\sqrt{- u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1})$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e^{- x^{2}} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.7

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 7.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.7.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7.8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = e^{u_{1}}$ und $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.9.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.9.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.9.5

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.9.6

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Schritt 7.9.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Schritt 7.9.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 7.12

Da $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 7.13

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Schritt 7.14

Vereinfache.

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Schritt 7.14.1

Schreibe $- 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ als $- 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ um.

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.14.2

Vereinfache.

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Schritt 7.14.2.1

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.14.2.2

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.14.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.14.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.14.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 7.14.2.6

Kombiniere $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Schritt 7.14.2.7

Addiere $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ und $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = - 2 \cdot 0 + C$

Schritt 7.14.2.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$e^{- x^{2}} y = 0 + C$

Schritt 7.14.2.9

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- x^{2}} y = C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = C$ durch $e^{- x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = C$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$