Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 5$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 5 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 5 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 5 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 5 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ um.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Schritt 7.3

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Schritt 7.5

Sei $u = - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u = - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Schritt 7.8

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Schritt 7.9

Vereinfache.

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Schritt 7.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Schritt 7.10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Schreibe $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ als $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ um.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Schritt 7.11.2

Vereinfache.

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Schritt 7.11.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Schritt 7.11.2.2

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Schritt 7.12

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Schritt 7.13

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Schritt 7.14

Stelle die Terme um.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ durch $e^{- 5 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ durch $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 5 x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ mit $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 5 x}$ .

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Schritt 8.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ mit $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 5 x}$ .

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Schritt 8.2.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 8.2.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ ersetzt wird.

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ um.

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Schritt 10.2

Vereinfache $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

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Schritt 10.2.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Schritt 10.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Schritt 10.2.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

Schritt 10.2.2.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{25}$ von $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Addiere $\frac{1}{25}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

Schritt 10.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

Schritt 10.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

Schritt 10.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

Schritt 10.3.5.2

Addiere $75$ und $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

Schritt 11

Setze $\frac{76}{25}$ für $C$ in $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $\frac{76}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

Schritt 11.2.2

Kombinieren.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $76$ mit $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$