Analysis Beispiele

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ durch $e^{t}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ durch $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{t}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Schritt 2.3.1.2.1.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- t}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $- e^{- t} y + K y$ um.

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- y e^{- t} + K y = - 1$ um.

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{- t} + K y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{- t}$ heraus.

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 e^{- t}) + y K$ heraus.

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- e^{- t} + K) = - 1$ durch $- e^{- t} + K$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- e^{- t} + K) = - 1$ durch $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{- t} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Schritt 3.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- t}$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Schritt 3.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Schritt 3.3.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.3.5.1

Schreibe $- (e^{- t} - K)$ als $- 1 (e^{- t} - K)$ um.

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Schritt 3.3.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Schritt 3.3.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Schritt 3.3.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{- t} - K}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $\frac{1}{4}$ für $y$ in $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ ersetzt wird.

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ um.

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1 + K, 4$

Schritt 6.3.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.3.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.3.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 6.3.6

Der Teiler von $1 + K$ ist $1 + K$ selbst.

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ occurs $1$ time.

Schritt 6.3.7

Das kgV von $1 + K$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$1 + K$

Schritt 6.3.8

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$4 (1 + K)$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ mit $4 (1 + K)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ mit $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Schritt 6.4.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Schritt 6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Schritt 6.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Schritt 6.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = 1 + K$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $1 + K = 4$ um.

$1 + K = 4$

Schritt 6.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - 1$

Schritt 6.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$K = 3$

Schritt 7

Setze $3$ für $K$ in $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $3$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$