Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - x^{2} - K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$